Question

【题目】操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣ ），则点M的坐标为 ．
（2）A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．

Answer 1

【答案】
（1）

如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，

由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∵P（a，b），

∴OC=a，PC=b，

∴CD= PC= b，DQ= PQ= b，

∴Q（a+ b， b）；

设M（x，y），则N点坐标为（x+ y， y），

∵N（6，﹣ ），

∴ ，解得 ，

∴M（9，﹣2 ）；

故答案为：（a+ b， b）；（9，﹣2 ）

（2）

①∵A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点，

∴可取A（2， ），

∴2+ × = ， × = ，

∴B（ ， ），

设直线OB的函数表达式为y=kx，则 k= ，解得k= ，

∴直线OB的函数表达式为y= x；

②设直线AB解析式为y=k′x+b，

把A、B坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线AB解析式为y=﹣ x+ ，

∴D（0， ），且A（2， ），B（ ， ），

∴AB= = ，AD= = ，

∴ = = =

【解析】（1）连接CQ可知△PCQ为等边三角形，过Q作QD⊥PC，利用等边三角形的性质可求得CD和QD的长，则可求得Q点坐标；设出M点的坐标，利用P、Q坐标之间的关系可得到点M的方程，可求得M点的坐标；（2）①可取A（2， ），利用T变换可求得B点坐标，利用待定系数示可求得直线OB的函数表达式；②由待定系数示可求得直线AB的解析式，可求得D点坐标，则可求得AB、AD的长，可求得△OAB的面积与△OAD的面积之比．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质和一次函数的图象和性质的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远才能正确解答此题．