题目内容
如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴，B（3，| 3 |
．折叠后，点O落在点O1，点C落在线段AB点C1处，并且DO1与DC1在同一直线上．（1）求折痕AD所在直线的解析式；
（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值．
分析：（1）根据B点的坐标即可得出A点的坐标，也就知道了OA的长，可在直角三角形OAD中，根据OA的长和∠OAD的度数求出OD的长，即可得出D点的坐标，进而可用待定系数法求出直线AD的解析式．
（2）本题的关键是求出C1的横坐标，可过C1作x轴的垂线，由于∠ADO=∠AOC1=60°，因此可得出∠C1DC=60°，因此可在构建的直角三角形中用BC的长和∠C1DC的度数来求出C1的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）由于圆P与两坐标轴都相切，如果设P点的坐标为（x、y），则有|x|=|y|，进而可联立抛物线的解析式求出P点的坐标．也就得出了圆的半径的长．
（2）本题的关键是求出C1的横坐标，可过C1作x轴的垂线，由于∠ADO=∠AOC1=60°，因此可得出∠C1DC=60°，因此可在构建的直角三角形中用BC的长和∠C1DC的度数来求出C1的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）由于圆P与两坐标轴都相切，如果设P点的坐标为（x、y），则有|x|=|y|，进而可联立抛物线的解析式求出P点的坐标．也就得出了圆的半径的长．
解答：解：（1）由已知得
OA=
，∠OAD=30度．
∴OD=OA•tan30°=
×
=1，
∴A（0，
），D（1，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A，D坐标代入上式得：
，
解得：
，
折痕AD所在的直线的解析式是y=-
x+
．
（2）过C1作C1F⊥OC于点F，
由已知得∠ADO=∠ADO1=60°，
∴∠C1DC=60°．
又∵DC=3-1=2，
∴DC1=DC=2．
∴在Rt△C1DF中，C1F=DC1•sin∠C1DF=2×sin60°=
．
则DF=
DC1=1，
∴C1（2，
），而已知C（3，0）．
设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，（a≠0）．
把O，C1，C的坐标代入上式得：
，
解得
，
∴y=-
x2+
x为所求．
（3）设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得-
x2+
x=x，解得x1=0（舍去），x2=3-
．
由y=-x，得-
x2+
x=-x解得x1=0（舍去），x2=3+
．
∴所求⊙P的半径R=3-
或R=3+
．
OA=
| 3 |
∴OD=OA•tan30°=
| 3 |
| ||
| 3 |
∴A（0，
| 3 |
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A，D坐标代入上式得：
|
解得：
|
折痕AD所在的直线的解析式是y=-
| 3 |
| 3 |
（2）过C1作C1F⊥OC于点F，
由已知得∠ADO=∠ADO1=60°，
∴∠C1DC=60°．
又∵DC=3-1=2，
∴DC1=DC=2．
∴在Rt△C1DF中，C1F=DC1•sin∠C1DF=2×sin60°=
| 3 |
则DF=
| 1 |
| 2 |
∴C1（2，
| 3 |
设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，（a≠0）．
把O，C1，C的坐标代入上式得：
|
解得
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∴y=-
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
（3）设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得-
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
2
| ||
| 3 |
由y=-x，得-
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
2
| ||
| 3 |
∴所求⊙P的半径R=3-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质等知识点．综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
的图象与y轴交于点A，
的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐
时x的取值范围。
中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐
＝－
＋
交折线O－A－B于点E．
