题目内容

如图1，已知二次函数y=ax²+bx+c（其中a＜0，b＞0，c＞0）的图象与y轴的交于点C，其顶点为A；直线CD∥x轴、且与抛物线的对称轴AE交于点B，交抛物线于另一点D．
（1）试用含b的代数式表示 $数学公式$ 的值；
（2）如图2，连接AC与AD，我们把△ACD称为抛物线的伴随三角形．
①当△ACD为直角三角形时，求出此时b值；
②若△ACD的面积记为S，当抛物线的对称轴为直线x=2时，请写出伴随三角形面积S与b的函数关系式．

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的顶点纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
又∵直线CD∥x轴与抛物线的对称轴AE交于点B，且a＜0，c＞0，
∴AB= $\text{[math]}$ -c=- $\text{[math]}$ ；
在y=ax²+bx+c中，设y=c，可得：c=ax²+bx+c，
解得 $\text{[math]}$ ，
∵a＜0，b＞0，
∴CD=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ）÷（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；

（2）①∵直线AE是抛物线的对称轴，直线CD∥x轴，
∴点C与点D关于直线AE对称，
∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
又∵△ACD是直角三角形，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又由（1）可知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当b=2时，
△ACD是直角三角形；
②∵ $\text{[math]}$ ，
∴伴随△ACD的面积 $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）×（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
又抛物线的对称轴为直线x=2，
∴- $\text{[math]}$ =2
∴a=- $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ （b＞0）．
分析：（1）根据二次函数的顶点坐标表示出线段AB和线段CD的长，然后求其比值即可；
（2）①首先判定三角形ACD是等腰直角三角形，然后表示出AB与CD的比值，从而得到有关b的等式，求解即可；
②根据表示的AB和CD的长表示出伴随三角形的面积，利用其对称轴为2表示出a、b的关系，从而表示出S．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是第二题中提到的伴随三角形是一个全新的概念，考查了同学们的理解与加工新知识的能力．

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如图1，已知二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．

（本小题10分）如图11，已知二次函数y= -x² +mx +4m的图象与x轴交于
A(x₁，0)，B(x₂，0)两点(B点在A点的右边)，与y轴的正半轴交于点C，且(x₁+x₂)- x₁x₂=10.
（1）求此二次函数的解析式.
（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
（3）连结BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S.请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由.

（本题9分）如图9，已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．

【小题1】（1）求二次函数的解析式；
【小题2】（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
【小题3】（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

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