Question

实验探究：

(1)动手操作：

①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD＋∠ACD＝________°；

②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，已知∠A＝30°，那么∠ABD＋∠ACD＝________°；

(2)猜想证明：

如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；

(3)灵活应用：

请你直接利用以上结论，解决以下列问题：

①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数；

②如图5，∠ABD、∠ACD的10等分线相交于点F₁、F₂、…、F₉，若∠BDC＝120°，∠BF₃C＝64°，求∠A的度数．

Answer 1

答案：

 

(1)动手操作：

①∵BC∥EF，

∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°，

∴∠ABD=90°-45°=45°,∠ACD=60°-45°=15°，

∴∠ABD+∠ACD=60°；

②在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，

而∠D=90°，

∴∠DBC+∠DCB=90°；

在Rt△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，

而∠DBC+∠DCB=90°，

∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A=60°.

故答案为60°;60°；

(2)猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC；

证明：连接BC，

在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，

∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC；

在Rt△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，

而∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC，

∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-(180°-∠BDC)=∠BDC，

即：∠A+∠B+∠C=∠BDC.

(3)灵活应用：

①由(2)可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，

∵∠BAC=40°,∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=120°-40°=80°

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，

∴∠ABE+∠ACE=40°，

∴∠BEC=40°+40°=80°；

②由(2)可知：∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°,∠ABF₃+∠ACF₃=∠BF₃C=64°，

∵∠ABF₃=3/10∠ABD,∠ACF₃=3/10∠ACD，

∴ABD+∠ACD=120°-∠A,∠A+3/10(∠ABD+∠ACD)=64°，

∴∠A+3/10(120°-∠A)=64°，

∴∠A=40°，

故答案为40°.