Question

【题目】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是BD的中点，BE=DF，AF∥CE．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若OA=OD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）四边形ABCD为矩形

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质推出∠AFO=∠CEO，∠FAO=∠ECO，求出OE=OF，证△AOF≌△COE，推出AF=CE，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）根据全等得出OA=OC，求出AC=BD，再根据平行四边形和矩形的判定推出即可．

（1）证明：∵AF∥CE，

∴∠AFO=∠CEO，∠FAO=∠ECO，

∵O为BD的中点，即OB=OD，BE=DF，

∴OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，

在△AOF和△COE中

∴△AOF≌△COE（AAS），

∴AF=CE，

∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）若OA=OD，则四边形ABCD是矩形，

证明：∵△AOF≌△COE，

∴OA=OC，

∵OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵OA=OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，

∴四边形ABCD为矩形．