Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，⊙E和⊙F分别是△ABC和△ADC的内切圆，与对角线AC分别切于E、F，则EF=________．

Answer 1

2
分析：连接EM、EN、EQ、AE、BE、CE、过F作FW⊥BC于W，过E作ER⊥FW于R，根据三角形的面积公式求出⊙E和⊙F的半径，在Rt△EFR中，根据勾股定理求出即可．
解答：
连接EM、EN、EQ、AE、BE、CE、过F作FW⊥BC于W，过E作ER⊥FW于R，
设⊙E的半径是R，
则EM=EN=EQ=RW=R，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，
∵S_△ABE+S_△BCE+S_△ACE=S_△ABC，
∴×6×R+×8×R+×10×R=×6×8，
R=2，
同法可求出⊙F的半径是2，
在Rt△EFR中，ER=8-2-2=4，FR=6-2-2=2，由勾股定理得：EF==2，
故答案为：2．
点评：本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的面积公式，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．