Question

20．已知△ABC，△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点．
（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）如图②，直线AG，FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图①中，连接AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可解决问题．
（Ⅱ）如图①中，连接AE、EC、CG．首先证明∠AMF=90°，在如图②中，当点M运动到BM⊥AC时，BM最短，由此即可解决问题．

解答 解：（Ⅰ）如图①中，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=2，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为2$\sqrt{3}$．

（Ⅱ）如图①中，连接AE、EC、CG．
∵DE=DF=DC，
∴△EFC是直角三角形，
∴∠ECF=90°，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠GDC，
在△ADE和△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DG}\\{∠ADE=∠GDC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GDC，
∴AE=CG，∠DAE=∠DGC，
∵DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴∠GAE=∠AGC，
∵AG=GA，
∴△AGE≌△GAC，
∴∠GAK=∠AGK，
∴KA=KG，∵AC=EG，
∴EK=KC，
∴∠KEC=∠KCE，
∵∠AKG=∠EKC，
∴∠KAG=∠KCE，
∴EC∥AG，
∴∠AMF=∠ECF=90°，
∴点M在以AC为直径的圆上运动，
如图②中，当点M运动到BM⊥AC时，BM最短，

∵OB=2$\sqrt{3}$，AO=OM=OC=2，
∴BM的最小值为2$\sqrt{3}$-2．
故答案为2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识等知识，解题的关键是证明∠AMF=90°，判断出点M在以AC为直径的圆上运动，属于中考常考题型．