Question

（1）如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易知AC⊥BD，

CO

AC

=

1

2

；
（2）如图（2），若点E是正方形ABCD的边CD的中点，即

DE

DC

=

1

2

，过D作DG⊥AE，分别交AC、BC于点F、G．求证：

CF

AC

=

1

3

；
（3）如图（3），若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且

DP

DC

=

1

n

（n为正整数），过点D作DN⊥AP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论．

Answer 1

分析：（2）由同角的余角知，∠1=∠2，由ASA证得△ADE≌△DCG?CG=DE，由BC∥AD?

CG

AD

=

CF

AF

=

1

2

，故有

CF

AC

=

1

3

；
（3）同理猜想得到

CN

BC

=

DP

DC

=

1

n

，有

CM

AC

=

1

n+1

．

解答：（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，
∴∠1+∠ADG=90°，
又∵DG⊥AE，
∴∠2+∠ADG=90°，
∴∠1=∠2，
∵AD=DC，∠1=∠2，∠ADE=∠DCG=90°，
∴△ADE≌△DCG（ASA），
∴CG=DE，
又∵E为BC中点，
∴CG=DE=

1

2

DC，
∴CG=

1

2

AD，
∵BC∥AD，
∴

CG

AD

=

CF

AF

=

1

2

，
∴

CF

AC

=

1

3

；（8分）

（3）猜想

CM

AC

=

1

n+1

；（10分）
同理可证

CN

BC

=

DP

DC

=

1

n

，
又∵BC∥AD，
∴

CM

AM

=

CN

AD

=

1

n

，
∴

CM

AC

=

1

n+1

．（14分）

点评：本题主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定和性质和平行线的性质进行求解．