Question

如图（1），直线y=x与双曲线y=

k

x

交于点A、C，且OA=OC=

2

．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）以AC为对角线作矩形ABCD交x轴正半轴于B，交x轴负半轴于D，求点B、D坐标；
（3）如图（2），在（2）的条件下，点B₁、D₁分别在x轴正、负半轴上移动，AD₁交y轴于E，若∠B₁AD₁=∠BAD，则四边形AB₁，OE的面积S是否会发生变化？若不变求S值，若变化求S的取值范围．

Answer 1

（1）∵点A在直线y=x上，设A（a，a），a＞0．作AM⊥x轴于M，
∴OM=AM=a，在Rt△AOM中，由勾股定理，得
OM²+AM²=OA²，
∴a²+a²=（

2

）²，且a＞0，
∴a=1，
∴A（1，1），同理得C（-1，-1）．
∵点A在双曲线y=

k

x

上，
∴k=1．

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BO=OD=

2

．
∵点B在x轴的正半轴，点D在x轴的负半轴，
∴B（

2

，0），D（-

2

，0）

（3）S值不变，为1．
作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，
∴AM=AN=1，在矩形ABCD中∠BAD=90°，
∴∠B₁AD₁=∠BAD=90°，
∵AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，OM⊥ON，
∴∠MAN=90°，
∴∠B₁AM=∠EAN，
∵AM=AN，∠AMB₁=∠ANE=90°，
∴△B₁AM≌△EAN，
∴S_△B1AM=S_△EAN，
∴S_△B1AM+S_{四边形AEOM}=S_△EAN+S_{四边形AEOM}，
∴S_{四边形ANOM}=S_{四边形AEOB1}=AM•AN=1．