Question

6．已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+mx+n经过点A和点C．且与x轴交于点B，动点P在x轴上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动．点Q由点C沿线段CA向点A运动．且速度是点P运动速度的2倍．
（1）求直线的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发．运动时间为t（秒）．试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=kx-3可求出k得到直线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，再利用直线解析式求出C（0，-3），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题求出B（1，0），则可根据勾股定理计算出AB=5，则AP=3-t，AQ=5-2t，然后分类讨论：由于∠PAQ=∠OAC，所以当∠APQ=∠AOC时，△APQ∽△AOC，利用相似比得到$\frac{3-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$；当∠APQ=∠AOC时，△APQ∽△ACO，利用相似比得到$\frac{3-t}{5}$=$\frac{5-2t}{4}$，再分别解关于t的方程求出t即可．

解答 解：（1）把A（4，0）代入y=kx-3得4k-3=0，解得k=$\frac{3}{4}$，则直线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3；
当x=0时，y=$\frac{3}{4}$x-3=-3，则C（0，-3），
把A（4，0），C（0，-3）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{-12+4m+n=0}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{15}{4}}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3；
（2）对于抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3；
当y=0，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3=0，解得x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，
∵AO=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AP=3-t，AQ=5-2t，
∵∠PAQ=∠OAC，
∴当∠APQ=∠AOC时，△APQ∽△AOC，则$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{3-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，解得t=$\frac{5}{3}$；
当∠APQ=∠AOC时，△APQ∽△ACO，则$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{3-t}{5}$=$\frac{5-2t}{4}$，解得t=$\frac{13}{6}$，
综上所述，当t的值$\frac{5}{3}$$\frac{13}{6}$时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；能用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；灵活运用相似三角形的判定与性质和分类讨论思想．