Question

（1）引入：如图1，直线AB为⊙O的弦，OC⊥OA,交AB于点P,且PC=BC，直线BC是否与⊙O相切，为什么？

（2）引申：记（1）中⊙O的切线为直线，在（1）的条件下，如图2，将切线向下平移，设平移后的直线与OB的延长线相交于点，与AB的延长线相交于点E，与OP的延长线相交于点．

找出图2中与相等的线段，并说明理由；

如果=9cm，=12cm，⊙O的半径为6cm，试求线段的长．

Answer 1

（1）相切；理由见解析；（2）①，理由见解析；②．

【解析】

试题分析：（1）根据题意证明OB⊥BC即可；

（2）①根据题意可证明，由等角对等边知；

②设，由条件知，再利用△AOP∽，即可求出的长．

试题解析：直线BC与⊙O相切

∵OC⊥OA

∴∠A＋∠APO=90°

∵OA=OB CB=CP

∴∠A=∠ABO, ∠CPB=∠CBP

∵∠APO=∠CPB

∴∠ABO＋∠CBP=90°

即OB⊥BC

又点B在⊙O上

∴直线BC与⊙O相切．

（2）①

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA

∵

∴

由题意知

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

设，在中，

则，

∵，

∴△AOP∽

∴即

得

∴

考点：圆的综合题．