Question

在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx-

3

4

m2（m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足

1

OB

-

1

OA

=

2

3

，则m的值等于

 

．

Answer 1

分析：设方程x²+mx-

3

4

m²=0的两根分别为x₁、x₂，由一元二次方程根与系数的关系及m的取值范围判断出x₁＜0，x₂＞0，再由

1

OB

-

1

OA

=

2

3

求出OA=|x₁|=-x₁，OB=x₂，再把OA=|x₁|=-x₁，OB=x₂代入

1

OB

-

1

OA

=

2

3

即可求出m的值．

解答：解：设方程x²+mx-

3

4

m²=0的两根分别为x₁、x₂，且x₁＜x₂，则有x₁+x₂=-m＜0，x₁x₂=-

3

4

m²＜0，
所以x₁＜0，x₂＞0，由

1

OB

-

1

OA

=

2

3

，可知OA＞OB，又m＞0，
所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA=|x₁|=-x₁，OB=x₂，
所以

1

x1

+

1

x2

=

2

3

，即

x1+x2

x1x2

=

2

3

，
故

-m

- 3 4 m2

=

2

3

，
解得m=2．
故答案为：2

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及一元二次方程根与系数的关系，根据已知条件求出OA=|x₁|=-x₁，OB=x₂是解答此题的关键．