Question

11．如图，⊙O的半径OA=2cm，弦AB=2$\sqrt{3}$cm，点C在圆上，点P为弦AB上一动点，求点P到圆心O的最短距离及∠C的度数．

Answer 1

分析 由当OP⊥AB时，OP最短，根据垂径定理，可求得AP的长，然后由勾股定理求得OP，求出∠AOB=120°，再由圆周角定理即可得出∠C的度数．

解答 解：当OP⊥AB时，OP最短，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（cm），
∴OP=$\sqrt{0{A}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}}$=1（cm）=$\frac{1}{2}$OA．
∴点P到圆心O的最短距离是3cm，∠OAB=30°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理与勾股定理、三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．