题目内容

如图，正方形ABCD的边长是2，边BC在x轴上，边AB在y轴上，将一把三角尺如图放置（图1），其中M为AD的中点，逆时针旋转三角尺．
（1）当三角尺的一边经过C点时，此时三角尺的另一边和AB边交于点E₁（如图2），求此时直线PM的解析式；
（2）继续旋转三角尺，三角尺的一边与x轴交于点G，三角尺的另一边与AB交于E₂（如图3），PM的延长线与CD的延长线交于点F，若三角形GE₂F的面积为4，求此时直线PM的解析式；
（3）当旋转到三角尺的一边经过点B，另一直角边的延长线与x轴交于点G（如图4），求此时三角形GOF的面积．

解：（1）过点M作MH⊥x轴于点H，设PM交x轴于点G．
∴∠MHG=90°，MH=CD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠D=90°，AD=CD=2
∴∠MHG=∠D
∵M是AD得中点
∴MD= $\text{[math]}$ AD=1，M（1，2）
由旋转可知∠AMG=∠HMC
∵∠HMC=∠MCD
∵∠AMG=∠MGC
∴∠MGC=∠MCD
∴△GHM∽△CDM
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴GH=4
∴GB=3
∴G（-3，0）
设直线PM的解析式为：y=kx+b，由题意得
$\text{[math]}$ 解得：
$\text{[math]}$
∴直线PM的解析式为： $\text{[math]}$

（2）作FQ⊥AB于Q，RG⊥BG于G交AD的延长线于点R．
∴QF=GR，∠FQA=∠R=90°
∵∠PMN=90°
∴∠AE₂M=∠RMG
∴△FQE₂≌△GRM
∴E₂F=MG

∵S_△FE2G=4
∴ $\text{[math]}$ E₂F•MG=4
∴E₂F=2 $\text{[math]}$ ，
∵△AE₂M≌△DFM
∴E₂M=FM
∴E₂M= $\text{[math]}$ ，∵AM=1，由勾股定理得：
AE₂=1
∴E₂（0，1）
设PM的解析式为：y=kx+b由题意得： $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
∴直线的解析式为y=x+1

（3）过点F作FH⊥AO于H，GT⊥OC于G，交AD的延长线于点T

∴△FHO≌△GTM
∴FO=GM
∵AM=1，AO=2，由勾股定理得：
OM= $\text{[math]}$
∵△AMO≌△DMF
∴MF=OM
∴OF=2 $\text{[math]}$
∴GM=2 $\text{[math]}$
∴S_△GOF= $\text{[math]}$ =10
∴三角形GOF的面积为10
分析：（1）通过作辅助线利用三角形相似求出PM于x轴的交点G的坐标，M的坐标容易求出，然后根据待定系数法求出直线的解析式．
（2）通过作辅助线利用证明三角形全等得到E2F=GM，利用三角形的面积等于4求出GM的值，再根据勾股定理求出AE2的长后确定E2的坐标，最后根据待定系数法求直线的解析式．
（3）通过作辅助线利用证明三角形全等得到OF=GM，利用勾股定理OM的值，利用三角形全等求出OF的值，从而求出三角形的底与高，从而求解．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了全等三角形的运用、相似三角形的运用，勾股定理的运用，运用待定系数法求函数的解析式、以及三角形面积公式的运用，本题难度较大，对学生的综合理解能力要求较高．