题目内容
【题目】如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，点A在点B的左边，顶点为P，且线段AB的长为2．
（1）求点A的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使|GC﹣GB|最大？若存在，求G点坐标；若不存在说明理由．
（4）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0）；（2）y=x2﹣4x+3；（3）G点坐标为（2，﹣3）；（4）在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（
，0）
【解析】
试题分析：（1）求值直线y=﹣x+3与x轴的交点B，然后根据AB的长，即可求得OA的长，则A的坐标即可求得；
（2）利用待定系数法求得二次函数的解析式；
（3）由于A、B两点关于抛物线的对称轴即直线x=2对称，所以G点为直线CA与直线x=2的交点，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，再令x=2，求出y的值，进而得出G点坐标；
（4）分成
=
，∠PBQ=∠ABC=45°和
=
，∠QBP=∠ABC=45°两种情况求得QB的长，据此即可求解．
解：（1）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=3，即B（3，0），
由AB=2，得3﹣2=1，
A的坐标为（1，0）；
（2）根据题意得：
，
解得：
，
则抛物线的解析式是：y=x2﹣4x+3；
（3）延长CA，交对称轴于点G，连接GB，则|GC﹣GB|=GC﹣GA=AC最大．
∵抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、点B（3，0），且对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+m，
∵A（1，0），C（0，3），
∴
，
解得
，
∴y=﹣3x+3，
当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，
∴G点坐标为（2，﹣3）；
（4）①当
=
，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即
=
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0）．
②当
=
，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即
=
，
QB=
．
∵OB=3，
∴OQ=OB﹣QB=3﹣=
∴Q2的坐标是（，0）．
∵∠PBx=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0）
