Question

5．如图，AB是⊙O的直径，且AB垂直弦CD于点E，点G是AB上一点，点P为AB延长线上一点，AB=8，CD=4$\sqrt{2}$．
（1）连接GC，GD，试问当GE为何值时，△GDC是等边三角形？
（2）填空：
①当GE=4-2$\sqrt{2}$，四边形GCBD是菱形；
②当PB=4$\sqrt{2}$-4，四边形PCOD是正方形．

Answer 1

分析 （1）把△GDC作为等边三角形，根据等边三角形的性质和三角函数的定义得出GE长度即可；
（2）①根据四边形GCBD是菱形，得出GB和CD互相平分，设BE=x，则GE=x，OE=4-x，由勾股定理得出x即可，
②根据四边形PCOD是正方形，得出OC=PC，由勾股定理得出OP，从而得出PB即可．

解答 解：（1）当GE=2$\sqrt{6}$时，△GDC是等边三角形；
理由如下：∵AB是⊙O的直径，且AB垂直弦CD于点E，
∴GC=GD，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∵GE=2$\sqrt{6}$，
∴tanC=$\frac{GE}{CE}$=$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠C=60°，
∴△GDC是等边三角形；
（2）①连接OC，如图1，
∵四边形GCBD是菱形，
∴BE=GE，
设BE=x，则GE=x，OE=4-x，
∵OC=4，CD=4$\sqrt{2}$，
∴CE=2$\sqrt{2}$，
∴（4-x）²+（2$\sqrt{2}$）²=16，
∴x=4±2$\sqrt{2}$，
∵BE＜4，
∴x=4-2$\sqrt{2}$，
∴GE=4-2$\sqrt{2}$；
②如图2，∵四边形PCOD是正方形，
∴OC=PC，
∵OC=4，CD=4$\sqrt{2}$，
∴OP=4$\sqrt{2}$，
∵BO=4，
∴PB=4$\sqrt{2}$-4，
故答案为4-2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了菱形的判定，等边三角形的判定定理以及正方形的判定和性质，是一道综合型的题目，难度不大，是中考的常见题型．