Question

如果关于x的方程x²+（2k-3）x+k²-3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和．
求；（1）k的值；
（2）方程的两个实数根的平方和．

Answer 1

解：（1）设方程的两根分别为x₁，x₂，
x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-3，
∵方程x²+（2k-3）x+k²-3=0的两个实数根，
∴△≥0，即（2k-3）²-4（k²-3）≥0，
解得k≤；
而x₁+x₂=+，
∴（x₁+x₂）（x₁•x₂-1）=0，
∴2k-3=0或k²-3-1=0，
解得k₁=，k₂=2，k₃=-2，
而k≤；
∴k₁=，k₂=-2；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=（2k-3）²-2（k²-3）
=2k²-12k+15
当k=，原式=；
当k=-2，原式=47．
分析：（1）设方程的两根分别为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-3，根据题意有x₁+x₂=+，则2k-3=0或k²-3-1=0，解得k₁=，k₂=2，k₃=-2，而△≥0，即（2k-3）²-4（k²-3）≥0，解得k≤；最后得到满足条件的k值；
（2）先变形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（2k-3）²-2（k²-3），然后把（1）中k的值分别代入计算即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了代数式的变形．