Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=5，AB=10，BC=6，点E是线段AB上的动点，连结CE，EF⊥CE交AD于F，连结CF，设BE=x．
（1）当∠BCE=30°时，求△BCE的周长；
（2）当x=5时，求证：CF=AF+BC；
（3）是否存在x，使得CF=（AF+BC）？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△BCE中利用三角函数即可求得BE，EC的长度，则三角形的周长即可求得；
（2）取FC的中点P，连接E、P，易证EP是直角梯形ABCF的中位线，以及直角三角形的性质，以及梯形的中位线定理即可证得；
（3）取AB的中点Q，连接Q、P，则QP是直角梯形ABCF的中位线，QP=，EP是Rt△EFC斜边上的中线，EP=，要使得，只需EP=QP，即Rt△PQE是等腰直角三角形，即可表示出FA、AE的长度，然后根据Rt△EBC∽Rt△FAE，相似三角形的对应边的比相等可以得到关于x的方程，从而求解．
解答：解：（1）如图：∵∠A=∠B=90°，BC=6，BE=x，∠BCE=30°
∴Rt△EBC中，BE=BCtan30°=2，EC==
∴△BCE的周长=BC+EB+EC=6+6

（2）如图：取FC的中点P，连接EP，
∵∠A=∠B=90°，AD=5，AB=10，BC=6，BE=x=5，EF⊥CE，
∴EP是直角梯形ABCF的中位线，EP=
EP也是Rt△EFC斜边上的中线，EP=
∴EP==，即CF=AF+BC

（3）如图：取AB的中点Q，连接QP，
∵∠A=∠B=90°，AD=5，AB=10，BC=6，BE=x，EF⊥CE，
∴AE=10-x，QE=|5-x|，∠AFE+∠AEF=90°，∠BEC+∠AEF=90°
QP是直角梯形ABCF的中位线，QP=，∠PQE=90°
EP是Rt△EFC斜边上的中线，EP=
要使得，只需EP=QP，即Rt△PQE是等腰直角三角形，QP=QE=|5-x|
∴AF=2QP-BC=2|5-x|-6
∵∠A=∠B=90°，EF⊥CE，
∴∠AFE+∠AEF=90°，∠BEC+∠AEF=90°
∴∠AFE=∠BEC
∴Rt△EBC∽Rt△FAE
∴，即
当0≤x≤5时，|5-x|=5-x，2|5-x|-6=4-2x，（舍），
当5＜x≤10时，|5-x|=x-5，2|5-x|-6=2x-16，，（舍）
综上所述：时，
点评：本题是相似三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，梯形的中位线定理的综合应用，正确作出辅助线是关键．