Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．

（1）求证：OF∥BC；

（2）求证：△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）x=5，阴影部分的面积为（﹣25）cm2．

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；

（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形相似；

（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC，

又∵OF⊥AC，

∴OF∥BC；

（2）∵AB⊥CD，AB是直径，

∴，

∴∠CAB=∠BCD，

又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，

∴△AFO≌△CEB；

（3）连接DO，

∵AB⊥CD，

∴CE=CD=5cm，

在△OCB中，OC=OB=OE+BE=x+5（cm），

根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2，

解得：x=5，即OE=5cm，

∴tan∠COE=，

∴∠COE=60°，

∴∠COD=120°，

∴扇形COD的面积是：cm2，

△COD的面积是：CDOE=×10×5=25cm2

∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．