Question

如图，点M是直线上的动点，过点M作MN垂直于轴于点N，轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标        ．

Answer 1

（0，0），（0，1），（0，），（0，-3）

试题分析：由题意，应分两类情况讨论：当MN为直角边时和当MN为斜边时．

解：当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1，∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）就是符合条件的一个P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有-x=-（2x+3），解得x=-3，所以点P坐标为（0，-3）．如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），则有-x=化简得-2x=-2x-3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP=∴有-x=解得x=，这时点P的坐标为（0，）．因此，其他符合条件的点P坐标是（0，0），（0，），（0，-3）．故本题答案为：（0，0），（0，），（0，-3）
点评：本题主要采用分类讨论法，来求得符合条件的点P坐标