Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=

3

，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30°；②AC=2AB；③S_△ADC=2S_△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系，逐个进行验证，即可得出结论．

解答：解：在直角三角形ABC中，∵AB=

3

，BC=3，
∴tan∠ACB=

3

3

．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2

3

．②是正确的
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=

3

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，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．①是正确的
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°．
∴∠OBC+∠DCE=90°，
∴BO⊥CD．④是正确的．
∵AD∥BC，AD=2BE．
∴S_△ADC=2S_△ABE，③是正确的．
∴①②③④都是正确的，故选D．

点评：此题综合运用了直角三角形的性质以及菱形的性质．注意两条平行线间的距离处处相等．