Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点

（1）求抛物线和直线BC的解析式；

（2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（）；（4）符合条件的点F的坐标（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．

【解析】

（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；

（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；

（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；

（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD时，，②当DF＝BD时，，③当BF＝DF时，，m＝1，然后代入即可．

（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，

将B（2，0）代入，

0＝a（2﹣1）2﹣1，

∴a＝1，

抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，

将B（2，0）代入y＝kx+2，

0＝2k+2，

k＝﹣1，

∴直线BC的解析式：y＝﹣x+2；

（2）联立，

解得，，

∴C（﹣1，3），

∵A（1，﹣1），B（2，0），

∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，

AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，

BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，

∴点A与A'关于直线BC对称，

AB＝A'B，

可知△AFB≌△A'HB（AAS），

∵A（1，﹣1），B（2，0）

∴AG＝1，BG＝OG＝1，

∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，

∴A'（3，1），

∵C（﹣1，3），

∴直线A'C：，

联立：，

解得或，

∴E（，）；

（4）∵抛物线的对称轴：直线x＝1，

∴设F（1，m），

直线BC的解析式：y＝﹣x+2；

∴D（0，2）

∵B（2，0），

∴BD＝

，

，

①当BF＝BD时，，

m＝±，

∴F坐标（1，）或（1，﹣）

②当DF＝BD时，，

m＝2±，

∴F坐标（1，2+）或（1，2﹣）

③当BF＝DF时，，

m＝1，

F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意．

综上，符合条件的点F的坐标（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．