题目内容
正实数a、b满足ab=ba，且a＜1，求证：a=b．分析：首先通过已知可知ab=ba＞0，因而对其两边取对数，可得到
=
．我们设想f(x)=
．只要证得f（x）在0＜x＜1 时为单调函数，必然可得到a=b．如何求单调，只需求其单调性，只要求f（x）的导数即可．
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
| lnx |
| x |
解答：解：∵ab=ba?ln（ab）=ln（ba）?blna=alnb?
=
，
∴令f(x)=
，
∵求导可得f（x）是单调函数，
∴不可能有a≠b，而
=
，
∴a=b．
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
∴令f(x)=
| lnx |
| x |
∵求导可得f（x）是单调函数，
∴不可能有a≠b，而
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
∴a=b．
点评：本题考查求导公式的应用、分式的等式证明．解决本题的关键是通过将ab=ba转会为
=
，再利用函数的单调性证明．
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
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