Question

17．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（$\sqrt{6}$，0）与点B（0，-$\sqrt{2}$），点D在劣弧$\widehat{OA}$上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A（$\sqrt{6}$，0）与点B（0，-$\sqrt{2}$），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；
（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；
（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．

解答 解：（1）∵点A（$\sqrt{6}$，0）与点B（0，-$\sqrt{2}$），
∴OA=$\sqrt{6}$，OB=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴⊙M的半径为：$\sqrt{2}$；

（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；

（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，
∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，
∴∠ABC=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABO=30°，
∴OC=OB•tan30°=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴AC=OA-OC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∴OF=OA-AF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴点E的坐标为：（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

点评 此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．