Question

阅读材料，解答下列问题：
求函数y=

2x+3

x+1

（x＞-1）中的y的取值范围．
解．∵y=

2x+3

x+1

=

2(x+1)+1

x+1

=2+

1

x+1

∵

1

x+1

＞0
∴y＞2
在高中我们将学习这样一个重要的不等式：

x+y

2

≥

xy

（x、y为正数）；此不等式说明：当正数x、y的积为定值时，其和有最小值．
例如：求证：x+

1

x

≥2（x＞0）
证明：∵

x+ 1 x

2

≥

x• 1 x

=1
∴x+

1

x

≥2
利用以上信息，解决以下问题：
（1）求函数：y=

x+1

x-1

中（x＞1），y的取值范围．
（2）若x＞0，求代数式2x+

4

x

的最小值．

Answer 1

分析：（1）中，y=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，再结合x＞1，即可求出y的取值范围；
（2）中，2x+

4

x

=（

2x

-

4 x

）²+4

2

≥4

2

．

解答：解：（1）y=1+

2

x-1

，
∵x＞1，
∴x-1＞0，
∴y＞1．
（2）∵（

2x

-

4 x

）²≥0，
∴（

2x

）²-2

2x

•

4 x

+（

4 x

）²≥0，
∴2x+

4

x

≥2

2x

•

4 x

，
2x+

4

x

≥4

2

，
∴2x+

4

x

的最小值为4

2

．

点评：此题是一道材料分析题，给出了求函数取值范围和最小值的方法．此题旨在考查同学们的阅读理解能力
和接受并应用新知识的能力，需对式子进行灵活变形，才能解决问题．