Question

【题目】在直角坐标系XOY中，二次函数图像的顶点坐标为，且与x轴的两个交点间的距离为6.

（1）求二次函数解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点或

【解析】

（1）由已知开设解析式：，B（7，0），进一步可求出结果；（2）过点O作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，利用三角函数求出E,Q坐标，证明点Q在抛物线上，由抛物线的对称性，还存在一点，使△ABQ′∽△CAB.

（1）由已知开设解析式：，B（7，0）

把B（7，0）代入，求得a=

故所求解析式为

（2）在x轴上方的抛物线上存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，

因为△ABC为等腰三角形，

∴当AB=BQ，

∵AB=6，

∴BQ=6，

过点O作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=，

∴∠BAC=∠ABC=30°，∴∠ACB=120°，∴∠ABQ=120°，

过点Q作QE⊥x轴于E，则∠QBE=60°，

∴QE=BQsin60°=,

∴BE=3,

∴E(10, 0),.

当x=10时，

∴点Q在抛物线上，

由抛物线的对称性，还存在一点，

使△ABQ′∽△CAB故存在点或.