Question

（2007•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，B点在x轴的正半轴上，以OB为直径的半圆⊙A与直线BC切于B点，∠COB=30°，且OC交半圆⊙A于点D．
（1）求直线OC的解析式；
（2）若半圆⊙A的直径为2，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先根据锐角三角函数表示出C点横纵坐标，进而代入解析式得出k的值即可；
（2）根据圆的直径为2，分别得出S_△OBC，S_△ODA，S_扇形DAB，再利用S_阴影=S_△OBC-S_△ODA-S_扇形DAB求出即可．

解答：解：（1）设直线OC的解析式为y=kx，设C点横坐标为a，则OB=a．
∵∠COB=30°，∴BC=atan30°=

3

3

a，
∴C（a，

3

3

a），
∴

3

3

a=ak，
∴k=

3

3

，
故y=

3

3

x；

（2）过A作AE⊥OD，垂足为E．
∵⊙A的直径为2，∴C点的坐标为（2，

2 3

3

），
则BC=

2 3

3

．连接DA，则∠DAB=2∠AOC=60°，
S_扇形DAB=

60π×12

360

=

1

6

π，
则AE=

1

2

OA=

1

2

，OE=

3

AE=

3

2

，
∵OE=DE，
∴OD=

3

，
S_△ODA=

1

2

3

×

1

2

=

1

4

3

，
则S_阴影=S_△OBC-S_△ODA-S_扇形DAB=

5

12

3

-

1

6

π．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及扇形面积求法和一次函数解析式求法等知识，根据数形结合得出C点坐标是解题关键．