Question

如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

图2

图1

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

（3）如图2，设抛物线y=a(x－m－6)²+h经过A、E两点，其顶点为M，连结AM，

若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.

由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.                     

在Rt△ABF中，BF=.       

∴FC=4.                                            

在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5.

∴CE=8-x=3.                                      

∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.                 

（2）分三种情形讨论：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.            

若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.                      

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，

∴（m+6）²= m²+64，解得m=.                        

综合得m=6或4或.                             

（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).

依题意，得，

解得                                      

∴M（m+6，﹣1）.

设对称轴交AD于G.

∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，

∴∠OAB=∠MAG.

又∵∠ABO=∠MGA=90°，

∴△AOB∽△AMG.

∴，即.

∴m=12.