Question

如图，⊙O₁过O、A两点，分别交直线y=x和y=-x于E、F．

（1）已知A（0，4），求OE+OF的值．
（2）已知A（0，2），求OE-OF的值．

Answer 1

分析：（1）过A作AM⊥y轴，交OE于M，连接AE，AF，求出OM，证△AEM≌△AFO，推出OF=EM，求出OE+OF=OM，代入即可得出答案．
（2）过A作AM⊥y轴，交OE于M，连接AE，AF，根据勾股定理求出OM，证△AFO≌△AEM，推出OF=EM，求出OE-OF=OE-EM=OM，代入求出即可．

解答：
解：（1）如图，过A作AM⊥y轴，交OE于M，连接AE，AF，
∵A、F、O、E四点共圆，
∴∠AEM=∠AFO，
∵直线OE的解析式是y=x，直线OF的解析式是OF，
∴∠AOE=∠AOF=45°，
∵AM⊥y轴，
∴∠MAO=90°，
∴∠AMO=∠AOM=45°，
∴AM=AO，
∵A（0，4），
∴AM=AO=4，
由勾股定理得：OM=

42+42

=4

2

，
在△AFO和△AEM中

∠AOF=∠AME ∠AFO=∠AEM OA=AM

∴△AFO≌△AEM，
∴OF=EM，
∴OE+OF=OE+EM=OM=4

2

；

（2）如图，过A作AM⊥y轴，交OE于M，连接AE，AF，
∵直线OE的解析式是y=x，直线OF的解析式是OF，
∴∠AOE=∠QOF=45°，
∵AM⊥y轴，
∴∠MAO=90°，
∴∠AMO=∠AOM=45°，
∴AM=AO，
∵A（0，2），
∴AM=AO=2，
由勾股定理得：OM=2

2

，
∠AME=180°-45°=135°，∠AOF=90°+45°=135°，
∴∠AME=∠AOF，
由圆周角定理得：∠AFO=∠AEM，
在△AFO和△AEM中

∠AFO=∠AEM ∠AOF=∠AME AO=AM

∴△AFO≌△AEM，
∴OF=EM，
∴OE-OF=OE-EM=OM=2

2

．

点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，坐标与图形性质的应用，关键是推出△AFO≌△AEM．