Question

（2012•随州）如图：已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点．
（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）过O作OE垂直于CD，根据梯形的面积公式表示出梯形ABCD的面积，由O为AB的中点，将AB换为2OA，变形得到梯形的面积等于三角形OAD与三角形OBC的面积之和的2倍，又梯形ABCD的面积=三角形AOD的面积+三角形BOC的面积+三角形COD的面积，得到三角形COD的面积=三角形AOD的面积+三角形BOC的面积，而三角形AOD与三角形BOC都为直角三角形，三角形COD的面积等于CD乘以OE除以2，分别利用三角形的面积公式表示后，根据AD+BC=CD，得到OA=OE，又OA为圆O的半径，故得到CD过半径OE的端点E，且与半径OE垂直，进而确定出CD为圆O的切线；
（2）取CD的中点F，连接OF，又O为AB的中点，得到OF为梯形的中位线，利用梯形中位线定理得到OF等于上下底之和的一半，再利用AD+BC=CD变形，得到OF为CD的一半，即OF等于以CD为直径的圆F的半径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠DOC为直角，在直角三角形COD中，由OD与OC的长，利用勾股定理即可求出CD的长．

解答：解：（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E，

∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AB=（AD+BC）•OA=2（

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OB）=2（S_△OAD+S_△OBC），
且S_梯形ABCD=S_△OBC+S_△OAD+S_△OCD，
∴S_△OBC+S_△OAD=S_△OCD，且OA=OB，
∴

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OB=

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OA=

1

2

（AD+BC）•OA=

1

2

CD•OE，
又∵AD+BC=CD，
∴OA=OE，
∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线，即CD与⊙O相切；
（2）在CD上取中点F，连接OF，

∵OF为梯形ABCD的中位线，且AD+BC=CD，
∴OF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD，
∴O点在以CD为直径的⊙F上，
∴∠COD=90°，
在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm，
∴根据勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=

62+82

=10cm．

点评：此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，梯形的中位线定理，以及梯形、三角形面积的计算，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．