Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线.

（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线的“方点”的坐标；

（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与轴相交于、两点（在左侧），与轴相交于点，连接.若点是直线上方抛物线上的一点，求的面积的最大值；

（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的方点坐标是，；（2）当时，的面积最大，最大值为；（3）存在，或

【解析】

(1)由定义得出x=y，直接代入求解即可

(2)作辅助线PD平行于y轴，先求出抛物线与直线的解析式，设出点P的坐标，利用点坐标求出PD的长，进而求出面积的二次函数，再利用配方法得出最大值

(3)通过抛物线与直线的解析式可求出点B，C的坐标，得出△OBC为等腰直角三角形，过点C作交x轴于点M，作交y轴于点N，得出M，N的坐标，得出直线BN、MC的解析式然后解方程组即可.

解：（1）由题意得：∴

解得，

∴抛物线的方点坐标是，.

（2）过点作轴的平行线交于点.

易得平移后抛物线的表达式为，直线的解析式为.

设，则.

∴

∴

∴当时，的面积最大，最大值为.

(3)如图所示，过点C作交x轴于点M，作交y轴于点N

由已知条件得出点B的坐标为B(3,0)，C的坐标为C(0,3)，

∴△COB是等腰直角三角形，

∴可得出M、N的坐标分别为：M(-3,0)，N(0,-3)

直线CM的解析式为：y=x+3

直线BN的解析式为：y=x-3

由此可得出：或

解方程组得出：或

∴或