题目内容
如图，在直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴交于A（x1，0），B（x2,0）两点，其中x1，x2是方程x2-10x+16=0的两个根，且x1<x2，连接BC，AC．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Ｑ,使△QAC的周长最小，若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点Ｍ在第一象限的抛物线上，当△MBC的面积最大时，求点Ｍ的坐标．
（1）过A、B、C三点的抛物线的解析式
（2）存在；Q（5，
）（3）
点M的坐标为（4,2）
解析试题分析：（1）解：解方程x2-10x+16=0，由x1<x2，得
x1=2,x2=8
∴A(2,0) B(8,0);
OA=2,OB=8
∵OC切⊙P于点C
∴∠ACO=∠ABC
∴ΔOCA∽OBC
∴OC2=OA·OB=16，OC＞0
∴OC=4 ∴C(0，-4)
设过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8)
∴16a=-4 ∴a=
∴y=(x-2)(x-8)=
(2)存在. ∵A,B两点关于抛物线的对称轴
对称，
∴直线BC与对称轴的交点即为点Q.
用待定系数法易求直线BC的解析式为
当时，
∴Q（5，）
（3）过点M作ME⊥BC与E,交
轴于点D,作MN⊥CD于N
∴∠D＋∠DCE＝90°,而∠OBC＋∠OCB＝90°
∴∠D＝∠OBC＝∠OCA
∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE
∵OA＝2，OC＝4 ∴AC=
而
,
∴MN=
,DN＝
,DM＝
而ON＝
DC＝
∴DE＝
∴ME=DE-DM=－
＝
∴
＝
·
＝
＝
即当
时，ΔBCM的面积最大.
在=中，时，
∴点M的坐标为（4,2）
考点：直线与圆相切，一元二次方程，抛物线
点评：本题考查直线与圆相切，一元二次方程，抛物线，掌握直线与圆相切的概念和性质，会求一元二次方程的解，会用待定系数法求函数解析式
新课标快乐提优暑假作业陕西旅游出版社系列答案
如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′．
，2）．画出△ABC的两个位似图形△A1B1C1，△A2B2C2，同时满足下列两个条件：