Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）试探究t为何值时，△BPQ的面积是cm2；

（3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形；

（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=1，t＝；（2）t1＝或t2＝；（3） 当t＝或或时，△BPQ是等腰三角形；（4）t＝

【解析】

（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；

（2）过点P作PE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可得PE=3t，由三角形的面积公式列出方程可求解；

（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；

（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴AB＝＝＝10cm，

∵△BPQ与△ABC相似，且∠B＝∠B，

∴或，

当时，

∴，

∴t＝1，

当，

∴，

∴t＝；

（2）如图1，过点P作PE⊥BC于E，

∴PE∥AC，

∴，

∴PE＝＝3t，.

∴S△BPQ＝×（8﹣4t）×3t＝，

∴t1＝或t2＝；

（3）①当PB＝PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ，

则BE＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，

由（2）可知PE＝3t，

∴BE＝＝＝4t，

∴4t＝4﹣2t，

∴t＝

②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，

解得：t＝，

③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，

则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，

∵△BGQ∽△ACB，

∴，

∴

解得：t＝．

综上所述：当t＝或或时，△BPQ是等腰三角形；

（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t，

∵AC⊥BC

∴△PMB∽△ACB，

∴＝

∴BM＝4t，PM＝3t，且BQ＝8﹣4t，BC＝8，

∴MC＝8﹣4t，CQ＝4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

∵∠ACQ＝∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴，

∴

∴t＝