题目内容
如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC=25，BD=20，BE=7．（1）求DE的长；
（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．
分析：（1）首先运用勾股定理求得CD，CE的长，再根据相似三角形的性质求得AD的长，从而发现要求的线段就是直角三角形斜边上的中线；
（2）根据H是高的交点得AH⊥BC，所以只需证明GF∥BC即可．
（2）根据H是高的交点得AH⊥BC，所以只需证明GF∥BC即可．
解答：解：由已知得CD=15，CE=24，
（1）由题设知∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△AEC，
故
=
=
…①，
由①有
，
∴
，
∴点D是Rt△AEC的中点，
∴故DE=
AC=15；
（2）证明：
方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，
则∠AFG=∠ADE=∠EBC，故GF∥BC；
方法二：连DF，则DF∥CE，
由（1）知D为AC中点，
∴F为AE中点，
∴AF=9，
∴AG=
，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴GF∥BC，
又∵H为△ABC垂心，
∴AH⊥BC，
∵GF∥BC，
∴AH⊥GF．
（1）由题设知∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△AEC，
故
| AD |
| AE |
| BD |
| CE |
| AB |
| AC |
由①有
|
∴
|
∴点D是Rt△AEC的中点，
∴故DE=
| 1 |
| 2 |
（2）证明：
方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，
则∠AFG=∠ADE=∠EBC，故GF∥BC；
方法二：连DF，则DF∥CE，
由（1）知D为AC中点，
∴F为AE中点，
∴AF=9，
∴AG=
| 54 |
| 5 |
∴
| AG |
| AC |
| ||
| 30 |
| 9 |
| 25 |
∴
| AF |
| AB |
| 9 |
| 25 |
∴
| AG |
| AC |
| AF |
| AB |
∴GF∥BC，
又∵H为△ABC垂心，
∴AH⊥BC，
∵GF∥BC，
∴AH⊥GF．
点评：此题主要考查相似三角形的基本性质和直角三角形的性质，此类题的知识综合性较强，熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定和性质，善于把要证得的结论进行转换．
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明理由．
如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：λA=