题目内容
若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝－
，x1·x2＝
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：
AB＝|x1－x2|＝
＝
＝
＝
．
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)、B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
解析：
|
分析：(1)当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB＝ (2)当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝ 解答：解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE． ∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac． ∵a＞0，∴AB＝ 又∵CE＝| ∴ ∴ ∴ ∵b2－4ac＞0， ∴b2－4ac＝4； (2)当△ABC为等边三角形时， 由(1)可知CE＝ ∴ ∵b2－4ac＞0， ∴b2－4ac＝12．
点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等． |
，根据顶点坐标公式，得到CE＝|
|＝
，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值；
AE＝
，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值．
，
|＝
，
，
，
，
，
提示：
|
考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． |
优学名师名题系列答案
．我们把它们称为根与系数关系定理．
=
=
=
．