Question

3．实验室里，水平桌面上甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升$\frac{5}{6}$cm，求开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？

Answer 1

分析 先找出一分钟丙的水位上升的高度，再分析当甲与乙的水位高度之差是0.5cm有几种情况，分情况列出方程，解出方程即可．

解答 解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，且注水1分钟，乙的水位上升$\frac{5}{6}$cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升$\frac{5}{6}$×2²=$\frac{10}{3}$cm．
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1-$\frac{5}{6}$t=0.5，
解得：t=$\frac{3}{5}$分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵$\frac{5}{6}$t-1=0.5，
解得：t=$\frac{9}{5}$，
又∵$\frac{10}{3}$×$\frac{9}{5}$=6＞5．
∴此时丙容器已向乙容器溢水．
∵5÷$\frac{10}{3}$=$\frac{3}{2}$分钟，$\frac{5}{6}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{4}$，即经过$\frac{3}{2}$分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升$\frac{5}{4}$cm．
∴$\frac{5}{4}$+2×$\frac{5}{6}$（t-$\frac{3}{2}$）-1=0.5，
解得t=$\frac{33}{20}$；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为：$\frac{3}{2}$+（5-$\frac{5}{4}$）÷$\frac{5}{6}$÷2=$\frac{15}{4}$分钟，
∴5-1-2×$\frac{10}{3}$（t-$\frac{15}{4}$）=0.5，
解得：t=$\frac{171}{40}$．
综上所述，开始注水$\frac{3}{5}$、$\frac{33}{20}$、$\frac{171}{40}$分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．

点评 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是：考虑当甲与乙的水位高度之差是0.5cm有几种情况，分情况列出方程．