Question

如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边 OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂，照此规律作下去，则正方形OB₂₀₁₂B₂₀₁₃C₂₀₁₃的对称中心的坐标为________．

Answer 1

（0，-2¹⁰⁰⁶）
分析：首先求出B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、B₇、B₈、B₉的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B₂₀₁₃的坐标，可知正方形OB₂₀₁₂B₂₀₁₃C₂₀₁₃的对称中心即是OB₂₀₁₃的中点，继而求得答案．
解答：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=
∵正方形OBB₁C₁是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB₁=2，
∴B₁点坐标为（0，2），
同理可知OB₂=2，B₂点坐标为（-2，2），
同理可知OB₃=4，B₃点坐标为（-4，0），
B₄点坐标为（-4，-4），B₅点坐标为（0，-8），
B₆（8，-8），B₇（16，0）
B₈（16，16），B₉（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2013÷8=251…5，
∴B₂₀₁₃的纵横坐标符号与点B₅的相同，
∴B₂₀₁₃的坐标为（0，-2¹⁰⁰⁷），
∴正方形OB₂₀₁₂B₂₀₁₃C₂₀₁₃的对称中心的坐标为：（0，-2¹⁰⁰⁶）．
故答案为：（0，-2¹⁰⁰⁶）．
点评：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点．解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．