Question

【题目】如图，已知抛物线 (a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB, 求△PBD面积的最大值．

（3）设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当F坐标为(－2， )时，点M在整个运动过程中用时最少．

【解析】试题分析: (1）首先求出点A、B坐标，然后求得点D坐标，代入抛物线y=a（x+2）（x-4）（a为常数，且a＞0），求得抛物线解析式；

(2) 设P(m, ),根据三角形的面积公式即可得解；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

试题解析：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，

∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直线经过点B(4，0)，

∴，解得，

∴直线BD解析式为： ．

当x＝－5时，y＝3，

∴D(－5，3)．

∵点D(－5， )在抛物线上，

∴，

∴．

∴抛物线的函数表达式为： ．

(2)设P(m, )

∴

．

∴△BPD面积的最大值为．．

(3)作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵由(2)得，DN＝,BN＝9，容易得∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，

∴FG＝DF×sin30°＝，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：t＝，

∵lBD： ，∴Fx＝Ax＝－2，F(－2， )

∴当F坐标为(－2， )时，用时最少．