Question

【题目】在中，，分别以、为边向外作正方形和正方形．

（1）当时，正方形的周长________（用含的代数式表示）；

（2）连接．试说明：三角形的面积等于正方形面积的一半．

（3）已知，且点是线段上的动点，点是线段上的动点，当点和点在移动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）详见解析；（3）的周长最小值为

【解析】

（1）根据正方形的周长公式即可得解；

（2）首先判定，然后即可判定，即可得解；

（3）利用对称性，当A′、P、Q、F共线时的周长取得最小值，然后利用勾股定理即可得解.

（1）由题意，得正方形的周长为；

（2）连接，如图所示：

∵∠CBH=∠ABE=90°

∴∠CBH+∠ABC=∠ABE+∠ABC

∴

∵,,

∴

∴的面积的面积正方形的面积

（3）作点关于的对称点，∴

点关于的对称点,∴

∵的周长为，即为

当A′、P、Q、F共线时的周长取得最小值，

∴的周长的最小值为

过作的延长线于,

∵

∴∠CAB=45°，AB=AD=

∵∠DAB=90°

∴∠MAA′=45°

∴为等腰直角三角形

∵，

∴

∴

∴

∴的周长最小值为.