Question

19．为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，我市新区建设正按投资计划有序推进．新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m³，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：

	租金（单位：元/台•时）	挖掘土石方量（单位：m3/台•时）
甲型挖掘机	100	60
乙型挖掘机	120	80

（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？

Answer 1

分析 （1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．等量关系：甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m³；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．

解答 解：（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=8}\\{60x+80y=540}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$．                               
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；

（2）设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机．
依题意得：60m+80n=540（m，n均为自然数），
∴m=9-$\frac{4}{3}$n，
∴方程的解为：$\left\{\begin{array}{l}{m=9}\\{n=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=6}\end{array}\right.$．               
当m=9，n=0时，支付租金：100×9+120×0=900元＞850元，超出限额；
当m=5，n=3时，支付租金：100×5+120×3=860元＞850元，超出限额；
当m=1，n=6时，支付租金：100×1+120×6=820元，符合要求． 
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机．

点评 本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进行求解．