题目内容

已知二次函数 $数学公式$ 的图象如图所示．

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
（4）在（2）的条件下，平行于x轴的直线x=t（0＜t＜k）分别交AC、BC于E、F两点，试问在x轴上是否存在点P，使得△PEF是等腰直角三角形？若存在，请直接写P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ （x-3）²+ $\text{[math]}$ ，
顶点坐标为（3， $\text{[math]}$ ），
所以点D坐标为（3，0）；

（2）抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位得到的函数解析式为
y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+k
令y=0，即- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+k=0，
解得x₁=3- $\text{[math]}$ ，x₂=3+ $\text{[math]}$ ，
即A（3- $\text{[math]}$ ，0）、B（3+ $\text{[math]}$ ，0），C（0，k）；
在Rt△AOC中
AC²=OA²+OC²=（ $\text{[math]}$ -3）²+k²；
BC²=OB²+OC²=（ $\text{[math]}$ +3）²+k²；
AB²=（2 $\text{[math]}$ ）²=AC²+BC²=（ $\text{[math]}$ -3）²+k²+（ $\text{[math]}$ +3）²+k²；
整理得k（k-4）=0
k=0（不合题意），k=4；
∴抛物线的解析式y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4；

（3）由抛物线的解析式y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4；
得出M（3， $\text{[math]}$ ），A（-2，0），B（8，0），C（0，4）
如图，

连接MC、CD，根据勾股定理
求得MC= $\text{[math]}$ ，DC=5，MD= $\text{[math]}$ ，
∵MC2+CD2=MD2
由勾股定理逆定理△CMD为直角三角形，且DC⊥CM，
又∵DC=DA=DB，
∴直线CM与⊙D相切；

（4）存在. $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把二次函数 $\text{[math]}$ 配方求得顶点坐标，即可求出点D坐标；
（2）把二次函数向上平移k个单位的解析式为 $\text{[math]}$ +k，求出A、B、C三点，利用勾股定理求出k即可；
（3）利用求出的二次函数解析式，求出点M的坐标，利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出以D、C、M三点构成的三角形为直角三角形，得出结论；
（4）求出过A、C的两点和BC两点的直线解析式，按以三个点为直角顶点，结合等腰直角三角形的性质分情况探讨得出答案．
点评：此题考查二次函数，平移的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，切线的判定等知识点，以及分类讨论思想的渗透．