Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD，
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD·BD为定值；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）证明：由y=x+b，得A（-b，0），B（0，b），
∴∠DAC=∠OAB=45°，
又DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，即AD平分∠CDE。
（2）证明：由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形，
∴，
又∵D在双曲线上，
∴CD·DE=2，
∴AD·BD=2CD·DE=2×2=4为定值。
（3）解：存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形。
理由：若四边形OBCD为平行四边形，
则AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD，
设OB=a（a>0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D在上，
∴2a·a=2，
∴a=1，a=-1（舍去），
∴B（0，-1） ，D（2，1），
又B在y=x+b上，
∴b=-1，即存在直线AB: y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。