Question

19．观察下列等式：
第一个等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$； 
第二个等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$，
第三个等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$，
第四个等式：a₄=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}$=$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$，
按上述规律，回答以下问题：
（1）则第六个等式：a₆=$\frac{8}{6×7{×2}^{7}}$=$\frac{1}{6{×2}^{6}}-\frac{1}{7{×2}^{7}}$；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{{n•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给等式的变化规律可得a₆=$\frac{8}{6×7{×2}^{7}}$=$\frac{1}{6{×2}^{6}}$-$\frac{1}{7{×2}^{7}}$；
（2）根据所给等式的变化规律可得a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{{n•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$．

解答 解：（1）∵第一个等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$； 
第二个等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$，
第三个等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$，
第四个等式：a₄=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}$=$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$，
∴第六个等式：a₆=$\frac{8}{6×7{×2}^{7}}$=$\frac{1}{6{×2}^{6}}$-$\frac{1}{7{×2}^{7}}$；

（2）根据规律知：第n个等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{{n•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$．
故答案为：$\frac{8}{6×7{×2}^{7}}$=$\frac{1}{6{×2}^{6}}-\frac{1}{7{×2}^{7}}$；$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{{n•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．