题目内容
如图，梯形
在平面直角坐标系中，上底
平行于
轴，下底
交
轴于点
，点
（4，
），点
，
，
．
（1）求直线
的解析式；
（2）若点
的坐标为
，动点
从
出发，以1个单位/秒的速度沿着边向点运动（点可以与点或点重合），求
的面积
（
）随动点的运动时间
秒变化的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当
秒时，点停止运动，此时直线
与轴交于点
．另一动点
开始从出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由到
，然后由到
，再由到，最后由回到（点可以与梯形的各顶点重合）．设动点的运动时间为
秒，点
为直线
上任意一点（点不与点重合），在点的整个运动过程中，求出所有能使
与
相等的的值．
解：（1）如图，过A作AF⊥BC。
∵C（4，－2），∴CE=4，
而BC=9，∴BE=5，∴B（－5，－2）．
∵D（1，2），∴AF=4，
∵sin∠ABC=
，∴BF=3，∴EF=2，∴A（－2，2）．
设直线AB的解析式为
∵
，∴
，
∴
。
（2）如上图，由题意：
情况一：G在线段BE上且不与点E重合，
∴CE=
，S=
情况二：G在线段CE上且不与点E重合，
∴CE=
，S=
。
情况一中的自变量的取值范围：0≤
<5，
情况二中的自变量的取值范围：5<≤9。
（3）如下图，当
秒时，GE=
，
∴
，直线GH解析式为
。
∴N（0，1）．当点M在射线HF上时，有两种情况：
情况一：当点P运动至点P1时，∠P1HM=∠HNE。过点P，作平行于，一轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R。
由BP1=
，sin∠ABC=，可得，BR=
，P1R=
，
∴RE=Q1R=
，
∴P1Q1=
，∴Q1H=
由△P1Q1H∽△HEN得
，
∴
，
∴
。
当秒时，∠P1HM=∠HNE。
情况二：当点P运动至点P2时，∠P2HM=∠HNE,设直线P2H与
轴交于点T，直线HE与轴交于点Q2。
此时，△Q2TH∽△EHN，∴
，解得
，
∴
，
∴直线HT的解析式为
，
此时直线HT恰好经过点A（－2，2），
∴点P2与点A重合，即BP2=5，
∴
。
当秒时，∠P2HM=∠HNE，
若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况：
情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE。
过点P3作平行于
轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求P1同样的方法，
∴
。
当秒时，∠P3HM1=∠HNE。
情况四：当点P运动至点P4时，∠P4HM，=∠HNE。
可得△P4HE≌△THQ2，
∴P4E=TQ2=
，
∴
。
当秒时，∠P4HM=∠HNE。
综上所述：当
秒或
秒或
秒或
秒时，∠PHM=∠HNE。
