Question

（2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
（1）①直接写出点E的坐标：

（1，

1

2

）

．
②求证：AG=CH．
（2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

Answer 1

分析：（1）①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标；②推出CE=AE，BC∥OA，推出∠HCE=∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可；
（2）连接DE并延长DE交CB于M，求出DO=OC=

1

2

OA，证△CME≌△ADE，求出CM=AD=1，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH=HF=x，推出（1-x）²+（

1

2

）²=（

1

2

+x）²，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y=kx+b，把G、H的坐标代入求出即可；
（3）连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO=∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE=∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出

PN

BA

=

GN

GA

，设半径为r，代入求出即可．

解答：（1）①解：E的坐标是：（1，

1

2

），
故答案为：（1，

1

2

）；

②证明：∵矩形OABC，
∴CE=AE，BC∥OA，
∴∠HCE=∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中

∠HCE=∠EAG CE=AE ∠HEC=∠GEA

，
∴△CHE≌△AGE，
∴AG=CH．

（2）解：如图2，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，
∵DO=OC=1=

1

2

OA，
∴D是OA的中点，
∵BC∥OA，
∴∠MCE=∠DAE，
∵在△CME和△ADE中

∠MCE=∠DAE CE=AE ∠MEC=∠DEA

，
∴△CME≌△ADE，
∴CM=AD=2-1=1，
∵BC∥OA，∠COD=90°，
∴四边形CMDO是矩形，
∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵HG切⊙O于F，E（1，

1

2

），
∴可设CH=HF=x，FE=ED=

1

2

MD，
在Rt△MHE中，有MH²+ME²=HE²，
即（1-x）²+（

1

2

）²=（

1

2

+x）²，
解得x=

1

3

，
∴H（

1

3

，1），OG=2-

1

3

=

5

3

，
∴G（

5

3

，0），
设直线GH的解析式是：y=kx+b，
把G、H的坐标代入得：

5

3

k+b=0，且1=

1

3

k+b，
解得：k=-

3

4

，b=

5

4

，
∴直线GH的函数关系式为y=-

3

4

x+

5

4

．

（3）解：如备用图3，连接BG，过P做PN⊥GA，垂足为N，
∵在△OCH和△BAG中

CH=AG ∠HCO=∠GAB OC=AB

，
∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO=∠AGB，
∵∠HCO=90°，
∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，
∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA，
∵四边形OCBA是矩形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∵CH=AG（已证），
∴BH=OG，BH∥OG，
∴四边形BHOG是平行四边形，
∴OH∥BG，
∴∠OHE=∠BGE，
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA
∴∠BGA=∠BGE，
即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，
∴和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上，即在GB上
∴圆心P必在BG上，
∴△GPN∽△GBA，
∴

PN

BA

=

GN

GA

，
设半径为r，

r

1

=

1 3 -r

1 3

，
解得：r=

1

4

．
答：⊙P的半径是

1

4

．

点评：本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．