题目内容
（2012•门头沟区一模）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是
参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE=
．
（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（-3，2），连接AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y=
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是
45°
45°
．参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE=
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| 7 |
| 58 |
| 7 |
（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（-3，2），连接AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y=
x+1
x+1
．分析：阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得∠GAB=∠EAD，然后求出∠GAF=∠BAF+∠EAD，再根据∠EAF=45°计算即可得解；
（1）过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，可得四边形AFCD是正方形，然后设BE=x，根据小伟的结论表示出BF，再求出CE、BC，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，然后利用“AAS”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，BE=CF，再根据点A、C的坐标表示出OB，整理即可得解．
（1）过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，可得四边形AFCD是正方形，然后设BE=x，根据小伟的结论表示出BF，再求出CE、BC，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，然后利用“AAS”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，BE=CF，再根据点A、C的坐标表示出OB，整理即可得解．
解答：解：阅读材料：
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠EAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF，
=∠EAD+∠BAF，
=∠BAD-∠EAF，
=90°-45°，
=45°；
（1）如图3，过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，
∵AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四边形AFCD是正方形，
设BE=x，
根据小伟的结论，BF=BE-DE=x-4，
∵CD=10，DE=4，
∴CE=CD-DE=10-4=6，
BC=CF-BF=10-（x-4）=14-x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即（14-x）2+62=x2，
整理得，-28x=-232，
解得x=
，
即BE=
；
（2）如图4，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∵
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=CF，
∵点A（-3，2），C（x，y），
∴OE=3，AE=2，OF=x，CF=y，
∴OB=BE-OE=y-3，
OB=OF-BF=x-2，
∴y-3=x-2，
整理得，y=x+1．
故答案为：45°；
；x+1．
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠EAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF，
=∠EAD+∠BAF，
=∠BAD-∠EAF，
=90°-45°，
=45°；
（1）如图3，过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，
∵AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四边形AFCD是正方形，
设BE=x，
根据小伟的结论，BF=BE-DE=x-4，
∵CD=10，DE=4，
∴CE=CD-DE=10-4=6，
BC=CF-BF=10-（x-4）=14-x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即（14-x）2+62=x2，
整理得，-28x=-232，
解得x=
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即BE=
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（2）如图4，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∵
|
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=CF，
∵点A（-3，2），C（x，y），
∴OE=3，AE=2，OF=x，CF=y，
∴OB=BE-OE=y-3，
OB=OF-BF=x-2，
∴y-3=x-2，
整理得，y=x+1．
故答案为：45°；
| 58 |
| 7 |
点评：本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，（2）作辅助线补充完整正方形是解题的关键，（3）作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
练习册系列答案
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