Question

在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点 （不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．
（1）如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．

Answer 1

（1）∵PQ⊥AB，
∴∠EQB=∠C=90°，
∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠EBQ，
∵∠PED=∠BEQ，
∴∠PDE=∠PED；
（2）当P在线段AC上时，如图1所示，此时PF∥BD，



理由为：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角，
∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，
∴PF∥BD；
当P在线段AC延长线上时，如图2所示，PF⊥BD，
理由为：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PM为∠CPQ的平分线，
∴PF⊥BD．