Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D点，与边AC交于E点，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；      
（2）若DE=

5

，AB=5，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OD、AD．欲证明DF是⊙O的切线，只需证得DF⊥OD；
（2）过D作DG⊥AB，垂足为G．根据等腰△ABC“三合一”的性质推知AD平分∠BAC，则DE=DB=

5

．在Rt△ABD中，根据勾股定理求得AD、的长度，然后利用面积法求得
DG=2；然后由角平分线的性质证得DF=DG=2，在Rt△DEF中，EF=

DE2-DF2

=

( 5 )2-22

=1．在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

(2 5 )2-22

=4，所以
AE=AF-EF=3．

解答：（1）证明：如图，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴AD是△ABC的中线，即D是BC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G．
由（1）知，AD是等腰△ABC底边BC的中线、高线，
∴AD平分∠BAC，
∴DE=DB=

5

．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-DB2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
在Rt△ABD中，S△ABD=

1

2

•AD•DB=

1

2

•AB•DG，即

1

2

×2

5

×

5

=

1

2

×5•DG，
∴DG=2．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG=2，
在Rt△DEF中，EF=

DE2-DF2

=

( 5 )2-22

=1．
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

(2 5 )2-22

=4．
∴AE=AF-EF=3．

点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．