Question

如图，已知：五圆⊙₁、⊙₂、⊙₃、⊙₄、⊙₅顺次排列且互相外切，又均与两直线公切，最小圆⊙₁半径为8，最大圆⊙₅半径为18．求：⊙₂、⊙₃、⊙₄的半径R₂，R₃、R₄．

Answer 1

分析：圆与圆相切，连心线必过切点，直线与圆相切，直线必垂直于经过切点的半径，结合图形的对称性，用相似三角形的知识解答本题．

解答：解：连接O₁、O₂、O₃、O₄、O₅，
由已知可知O₁、O₂、O₃、O₄、O₅共线，
设⊙₁、⊙₂、⊙₃、⊙₄、⊙₅与公切线切点顺次为E、F、P、Q、M，
连接O₁E、O₂F、O₃P、O₄Q、O₅M．
作O₁A⊥O₂F、O₂B⊥O₃P，O₃C⊥O₄Q，O₄D⊥O₅M，
则△O₁AO₂∽△O₂BO₃∽△O₃CO₄∽△O₄DO₅，
设⊙₂、⊙₃、⊙₄的半径为x、y、z，
则O₁O₂=x+8，O₂A=x-8，O₂O₃=x+y，O₂B=y-x，
O₃O₄=y+z，O₄C=z-y，O₄O₅=z+18，O₅D=18-z，
∴

x+8

x-8

=

x+y

y-x

=

y+z

z-y

=

z+18

18-z

，
用合比定理得：

x

8

=

y

x

=

z

y

=

18

z

，
∴x=

8z

y

又x=

yz

18

，
∴y²=144，即y=12，x=4

6

，z=6

6

，
∴⊙₂的半径为4

6

，
⊙₃的半径为12、⊙₄的半径为6

6

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、切线的性质和两圆相切的性质等知识点的理解和掌握．充分运用直线与圆、圆与圆相切，作辅助线，把问题转化为证明相似三角形，利用相似比求解．