题目内容

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的内切圆O分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若∠BPC=90°，求证：AE+AP=PD．

证明：设AE=AF=x，BD=BF=y，CD=CE=z，AP=m，PD=n．
因为∠ACP+∠PCB=90°=∠PBC+∠PCB，所以∠ACP=∠PBC．
延长AD至Q，使得∠AQC=∠ACP=∠PBC，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ=l，
则由相交弦定理和切割线定理可得yz=nl，①x²=m（m+n）．②
因为△ACP∽△AQC，所以 $\text{[math]}$ ，
故（x+z）²=m（m+n+l）．③
在Rt△ACD和Rt△ACB中，由勾股定理得（x+z）²+z²=（m+n）²，④
（y+z）²+（z+x）²=（x+y）²．⑤
③-②，得z²+2zx=ml，⑥
①÷⑥，得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，⑦
②×⑦，结合④，得 $\text{[math]}$ ，
整理得 $\text{[math]}$ ．⑧
又⑤式可写为 $\text{[math]}$ ，⑨
由⑧，⑨得 $\text{[math]}$ ⑩
又⑤式还可写为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
把上式代入⑩，消去y+z，得3x²-2xz-2z²=0，
解得 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ ，
将上面的x，y代入④，得 $\text{[math]}$ ，
结合②，得 $\text{[math]}$ ，
从而 $\text{[math]}$ ，
所以，x+m=n，即AE+AP=PD．
分析：延长AD至Q，使得∠AQC=∠ACP=∠PBC，连接BQ，CQ，利用相交弦定理和切割线定理即可利用CD表示出AE与AP、PD的长，即可证明．
点评：本题是相交弦定理，切割线定理的综合应用，正确利用CD表示出AE与AP、PD的长是解题的关键．